Bentuk Akar : Sifat, Operasi Hitung, Merasionalkan, Cara Menyederhanakan Dan Contoh Soalnya Lengkap

Posted on

Bentuk Akar : Sifat, Operasi Hitung, Merasionalkan, Cara Menyederhanakan Dan Contoh Soalnya Lengkap

Bentuk Akar – Adalah akar dari sebuah bilangan yang hasilnya bukan termasuk pada bilangan rasional, atau bilangan yang mencakup bilangan cacah, prima dan bilangan lainnya yang terkait. Atau juga bilangan irasional yaitu bilangan yang hasil baginya tak pernah berhenti.

Bentuk Akar

Bentuk akar merupakan bentuk lain dalam menyebutkan bilangan yang memiliki pangkat. Bentuk akar juga termasuk ke dalam bilangan irasional, yang dimana dengan menggunakan bilangan pecahan a/b, a serta b bilangan bulat a dan b ≠ 0.

Bilangan dari bentuk akar adalah bilangan yang ada dalam tanda  yang disebut sebagai tanda akar. Beberapa contoh bilangan irasional di dalam bentuk akar yakni √2, √6, √7, √11 dan lain sebagainya.

Sementara untuk √25 bukanlah bentuk akar, sebab √25 = 5  (5 merupakan bilangan rasional) sama saja angka 25 bentuk akarnya yaitu √5. Simbol akar “√” pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan asal Jerman yang bernama Christoff Rudoff.

Di dalam bukunya dengan judul Die Coss. Simbol tersebut dipilih sebab mirip dengan huruf ” r ” yang mana diambil dari kata “radix”, yang merupakan bahasa latin bagi akar pangkat dua.

Sebagaimana bilangan berpangkat yang mempunyai beberapa sifat-sifat, bentuk dari akar pun juga mempunyai beberapa sifat, diantaranya yaitu :

  1. √a2 = a
  2. √a x b = √a x √b ; a ≥ 0 dan b ≥ 0
  3. √a/b = √a/√b ; a ≥ 0 dan b ≥ 0

Bentuk Akar Matematika

Adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan termasuk ke dalam bilangan rasional. Atau bilangan yang mencakup bilangan cacah bilangan prima, serta bilangan-bilangan lain yang terkait) atau bilangan irasional (yakni bilangan yang hasil baginya tidak pernah berhenti).

Baca Juga :  Pengertian Beserta Contoh Bilangan Rasional dan Irasional Lengkap

Singkatnya, bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang mempunyai hasil dari bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk a/b (pecahan). Di mana a dan b merupakan bilangan bulat dan b ≠ 0. Sebagai contoh: bilangan 3 bisa kita nyatakan dalam bentuk 6/2, 9/3, 18/6 dan lain sebagainya.

Sementara untuk bilangan irasional merupakan sebuah bilangan yang tidak bisa diubah ke dalam bentuk pecahan a/b di mana a dan b merupakan suatu bilangan bulat.

Pengakaran  √ berhubungan erat dengan yang namanya eksponensial. Bentuk akarnya yaitu salah satu contoh bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk a/b, dengan ketentuan a dan b merupakan bilangan bulat di mana b ≠ 0.

Sebagai contohnya adalah nilai dari π = 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…,  hal itu disebabkan oleh phi yang tak bisa dinyatakan ke dalam bentuk pecahan, maka nilai dari π termasuk ke dalam  bilangan irasional.

Contoh :

  • √9 bukan merupakan bentuk akar, karena √9 = 3 (bilangan rasional).
  • √0,25 bukan merupakan bentuk akar, karena √0,25  = 0,5 (bilangan rasional).
  • √3 adalah bentuk akar.
  • √5 adalah bentuk akar.

Cara Menyederhanakan Bentuk Akar Matematika

Beberapa bentuk akar dapat disajikan ke dalam bentuk yang lebih sederhana, untuk masing-masing bilangan a dan b adalah bilangan bulat yang positif maka rumus yang berlaku yaitu : √(a x b) = √a x √b

Dengan a atau b harus bisa dinyatakan ke dalam bentuk kuadrat murni.

Sebagai contoh:

  • √108 = √36 x √3 = 6 √3
  • √(1/8) = √(1/16 x 2) = √(1/16) x √2 = 1/4 √2

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Untuk masing-masing a,b,c yang menjadi bilangan rasional yang positif, maka akan berlaku rumus atau persamaan seperti berikut :

Baca Juga :  Luas Permukaan Prisma Segi Lima Beserta Rumus dan Contoh Soal Lengkap

Rumus operasi penjumlahan bentuk akar

a√c  + b√c = (a + b) √c

Rumus operasi pengurangan bentuk akar

a√c – b√c = (a – b) √c

2. Operasi Perkalian Bentuk Akar

Untuk masing-masing a,b, dan c adalah bilangan rasional positif, maka rumus yang perlaku adalah :

√a x √b = √a x b

Contoh :

  • √4 x √8  = √(4 x 8) = √32 = √(16 x 2) = 4 √2
  • √4 (4 √4 -√2) = (√4 x 4 √4) – (√4 x √2) = (4 x √16) – √8

= (4  x 4) – (√4 x √2)

= 16 – 2 √2

Rangkuman Operasi Bentuk Akar:

  1. (√a + √b)= (a + b) + 2√ab
  2. (√a – √b)= (a + b) – 2√ab
  3. (√a – √b)(√a + √b) = a – b
  4. (a – √b)(a + √b) = a2– b

Sifat Bentuk Akar

Adapun beberapa sifat operasi bentuk akar seperti di bawah ini:

  1. √a2=a, dengan a adalah bilangan real positif.
  2. √a x √b = √ab, di mana a dan b merupakan bilangan real positif.
  3. √a/ √b = √a/b, dengan a ≥ 0 dan b > 0.
  4. a√c + b√c = (a + b)√c dengan a, b, c merupakan bilagan real, serta c ≥ 0.
  5. a√c – b√c = (a – b)√c  dengan a, b, c merupakan bilagan real, serta c ≥ 0.
  6. a√c x b√d = (ab) √cd, dengan a,b, c, d, merupakan bilangan real, serta a, b ≥ 0.
  7. c√a/ d√b = c/d√a/b dengan a, b, c merupakan bilangan real, serta a, b ≥ 0.

Merasionalkan Bentuk Akar

Dalam memudahkan pemakaian bentuk akar di dalam operasi aljabar, maka penulisan dari bentuk akar ditulis dalam bentuk yang paling rasional atau sederhana. Cara untuk merasionalkan bentuk akr, harus memenuhi syarat tertentu, yaitu :

1. Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu

√x, x > 0 → bentuk sederhana

√x5 dan √x3 → bukan bentuk sederhana

2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut

Baca Juga :  Himpunan Ekuivalen : Pengertian dan Contoh Soalnya Lengkap

√x/ x → bentuk sederhana

1/ √x → bukan bentuk sederhana

3. Tidak mengandung pecahan

√10/ 2 → bentuk sederhana

√5/√2 → bukan bentuk sederhana

Bagaimana cara untuk merasionalkan penyebut pecahan, dalam bilangan yang berbentuk akar?

Merasionalkan penyebut pecahan di dalam bilangan bentuk akar artinya mengubah penyebut dari pecahan, yang bentuknya akar menjadi bentuk rasional atau sederhana.

Cara/metode dalam merasionalkan penyebut pecahan adalah dengan cara mengalikan pembilang serta penyebut itu dengan bentuk akar yang sekawan dari penyebut itu sendiri. Ada tiga cara untuk merasionalkan penyebut pada bentuk pecahan yang berbentuk akar. Diantaranya :

Pecahan bentuk a/ √b

Diselesaikan dengan cara mengalikan √b/√b

Sehingga a/ √b = a/ √b x √b/√b = a√b /b

Pecahan bentuk a/ b+√c

Diselesaikan dengan cara mengalikan b – √c/ b – √c

Sehingga, a/ b + √c = a/ b + √c x b – √c/ b – √c = a(b – √c)/ b2 – c

Pecahan bentuk a/ √b + √c

Diselesaikan dengan cara mengalikan √b – √c/ √b – √c

Sehingga, a/ √b + √c = a/ √b + √c x √b – √c/ √b – √c = a(√b – √c)/ b-c

Contoh Soal

Diantara bilangan-bilangan di bawah ini, manakah yang termasuk bentuk akar? Apabila termasuk bentuk akar, berikan alasannya.

Soal 1.

√7

Jawab:

 √7 adalah bentuk akar

Soal 2.

√(1/16)

Jawab: 

√(1/16) bukan merupakan bentuk akar, karena √(1/16) = ¼ (adalah bilangan rasional)

Demikian ulasan lengkap tentang materi bentuk akar, yang meliputi sifat, merasionalkan, cara menyederhanakan, dan contoh soalnya. Semoga artikel ini dapat dipahami, dan membantu anda dalam menyelesaikan soal yang berhubungan dengan bentuk akar. Semoga bermanfaat.

Baca Juga :