Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Lengkap

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Lengkap

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel –Sistem persamaan linear adalah bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel. Yang dimana dalam sistem persamaan tiga variabel tersebut terdiri dari tiga persamaan yang masing-masingnya mempunyai tiga variabel yaitu X,Y,Z.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Bentuk umum dari persamaan linear tiga variabel dalam X,Y,Z ditulis dalam rumus berikut :

Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 adalah bilangan-bilangan real.

Keterangan:

  • a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x
  • b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y
  • c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z
  • d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta
  • x, y, z = variabel atau peubah

Ciri–Ciri Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sebuah persamaan disebut dengan sistem persamaan linear tiga variabel bila persamaan itu memiliki karakteristik seperti berikut :

  • Memakai relasi tanda sama dengan (=)
  • Mempunyai tiga variabel
  • Ketiga variabel tersebut mempunyai derajat satu (berpangkat satu)

Hal–Hal yang Berhubungan dengan SPLTV

Sistem persamaan ini memuat komponen dan unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel. Ketiga komponen itu adalah suku, variabel, konstanta dan koefisien. Berikut penjelasannya masing-masing :

Suku

Adalah bagian dari bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan juga konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan menggunakan tanda baca penjumlahan atau pengurangan.

Baca Juga :  Transformasi Geometri : Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi, Determinan Dan Luas, Dan Contohnya Lengkap

Contoh:

6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut yaitu 6x , -y, 4z dan 7.

Variabel

Adalah peubah atau pengganti dari suatu bilangan yang secara umum dilambangkan dengan penggunaan huruf seperti X,Y,Z.

Contoh:

Yulisa mempunyai 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Apabila kita tulis dalam bentuk persamaan maka:

Contoh: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu 2x + 5y + 6z.

Koefisien

Adalah bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan suatu persamaan koefisien ada di depan variabel.

Contoh:

Gilang mempunyai 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Apabila kita tuliskan ke dalam bentuk persamaan maka:

Contoh: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu 2x + 5y + 6z.

Dari persamaan tersebut, maka dapat diketahui bahwa 2, 5 dan 6 merupakan koefisien di mana 2 merupakan koefisien x , 5 merupakan koefisien y serta 6 merupakan koefisien z.

Konstanta

Adalah bilangan yang tak diikuti dengan variabel, sehingga akan memiliki nilai yang tetap/konstan dalam berapa saja nilai variabel atau peubahnya.

Contoh:

2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstantanya yaitu 7. Sebab, 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapa pun variabelnya.

Syarat SPLDV Memiliki Satu Penyelesaian

Sebuah sistem persamaan linier 3 variabel akan tepat mempunyai suatu penyelesaian atau satu himpunan penyelesaian apabila dapat memenuhi syarat atau ketentuan seperti di bawah ini:

Terdapat lebih dari satu atau ada tiga persamaan linier tiga variabel yang sejenis.

Contoh:

  • x + y + z = 5
  • x + 2y + 3z = 6
  • 2x + 4y + 5z = 9

Persamaan Linier Tiga Variabel yang membentuk Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel, bukan merupakan Persamaan Linier Tiga Variabel yang sama.

Baca Juga :  Limit Fungsi : Pengertian, Rumus, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Contoh:

  • 2x − 3y + z = −5
  • 2x + z − 3y + 5 = 0
  • 4x – 6y + 2z = −10

Ketiga persamaan di atas adalah sistem persamaan linear tiga variabel yang sama sehingga tidak mempunyai tepat satu himpunan penyelesaian.

Cara Penyelesaian SPLDV

Bentuk umum dari sistem persamaan linier tiga variabel dapat dituliskan seperti :

Apabila nilai x = x0, y = y0, dan z = z0, ditulis dengan pasangan terurut (x0, y0, z0), memenuhi SPLTV di atas, maka haruslah berlaku hubungan sebagai berikut :

Dalam hal yang seperti itu, (x0, y0, z0) disebut sebagai penyelesaian sistem persamaan linear tersebut serta himpunan penyelesaiannya ditulis sebagai {(x0, y0, z0)}.

Sebagai contoh, adanya SPLTV seperti di bawah ini:

  • 2x + y + z = 12
  • x + 2y – z = 3
  • 3x – y + z = 11

SPLTV di atas memiliki penyelesaian (3, 2, 4) dengan himpunan penyelesaiannya yaitu {(2, 3, 4)}.

Untuk membuktikan kebenaran bahwa (3, 2, 4) adalah penyelesaian dari SPLTV tersebut, maka subtitusikanlah nilai dari x = 3, y = 2 dan z = 4 ke dalam persamaan 2x + y + z = 12, x + 2y– z = 3 dan 3x – y + z = 11, sehingga akan kita dapatkan:

⇔ 2(3) + 2 + 4 = 6 + 2 + 4 = 12, benar

⇔ 3 + 2(2) – 4 = 3 + 4 – 4 = 3, benar

⇔ 3(3) – 2 + 4 = 9 – 2 + 4 = 11, benar

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sebuah sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) bisa di cari dengan menggunakan beberapa cara atau metode, antara lain dengan menggunakan:

  • Metode subtitusi
  • Metode eliminasi
  • Metode gabungan atau campuran
  • Metode determinan
  • Metode invers matriks

Sekian pembahasan materi sistem persamaan tiga variabel yang lengkap, semoga artikel ini berguna bagi anda yang mempelajari materi pelajaran sistem persamaan linear. Dan semoga artikel ini menambah pengetahuan anda dalam ilmu matematika.

Baca Juga :